æ•°å¦ä¸–界ä¸ï¼Œæœ‰ä¸€ç§çœ‹ä¼¼ç®€å•å´åˆå¤æ‚的定义——“零的零次幂â€ï¼Œå³0^0ã€‚åœ¨æ—¥å¸¸ç”Ÿæ´»å’Œå¦æœ¯ç ”ç©¶ä¸ï¼Œè¿™ä¸ªç¬¦å·ä¼¼ä¹Žæ˜¯ä¸€é““棘手的难题â€ã€‚很多人一想到“零的次幂â€ï¼Œå°±ä¼šé©¬ä¸Šè”想到“零的任何次幂都ç‰äºŽé›¶â€ï¼Œè¿™æ˜¯è‡ªç„¶çš„认知。当我们æåˆ°â€œé›¶çš„é›¶æ¬¡å¹‚â€æ—¶ï¼Œæƒ…况就å˜å¾—ä¸åŒäº†ã€‚
很多教æä¸å¯¹0^0的定义å„ä¸ç›¸åŒï¼Œæœ‰çš„定义认为它ç‰äºŽ1,有的则æŒä¿ç•™æ€åº¦ï¼Œç”šè‡³å°†å…¶å®šä¹‰ä¸ºæœªå®šä¹‰ã€‚è¿™ç§å·®å¼‚,ä¸ä»…影哿•°å¦å¦ä¹ ,也涉åŠåˆ°æ›´æ·±å±‚æ¬¡çš„æ•°å¦æ€æƒ³â€”—æžé™ã€å‡½æ•°çš„è¿žç»æ€§å’Œå®šä¹‰åŸŸçš„æ‰©å±•。
å®žé™…ä¸Šï¼Œé›¶çš„é›¶æ¬¡å¹‚çš„äº‰è®®æ ¹æºäºŽä¸åŒçš„æ•°å¦èƒŒæ™¯å’Œè§’度。在指数è¿ç®—ä¸ï¼ŒæŒ‡æ•°çš„å˜åŒ–ä»£è¡¨ç€æŒ‡æ•°å‡½æ•°ï¼ˆå¦‚x^n)在ä¸åŒç‚¹çš„è¡¨çŽ°ã€‚è€Œé›¶çš„æ¬¡å¹‚å¦‚æžœä»Žè¿žç»æ€§å’Œå‡½æ•°å®šä¹‰çš„角度出å‘,是å¦åº”该å–值1,这是许多数å¦å®¶ä¸æ–争论的焦点。
在作业帮这个平å°ä¸Šï¼Œå¦ç”Ÿä»¬é¢å¯¹é›¶çš„é›¶æ¬¡å¹‚ï¼ŒåŒæ ·å……满疑问。有人问:“零的零次幂ç‰äºŽå‡ ?â€ä¹Ÿæœ‰äººè¯•图用æžé™ã€å®šä¹‰ç‰æ–¹æ³•求解。这ç§ç–‘é—®ï¼Œæ£æ˜¯å¦ä¹ æ•°å¦çš„起点——让我们从怀疑和探索ä¸ï¼Œå‘现数å¦çš„真æ£é…力。
二ã€ä»Žæ•°å¦åŸºç¡€åˆ°å¤æ‚推导:为什么会产生ä¸åŒçš„ç”æ¡ˆï¼Ÿ
让我们从基本的指数性质出å‘:a^m*a^n=a^{m+n}。如果将må’Œnå–到0,得出a^0=1,这是广泛接å—的一个定义——åªè¦aä¸ä¸ºé›¶ã€‚零的特殊性在于:当底数为零时,a^b的定义在b趋近于零的区间内会å‘生什么å˜åŒ–?
考虑æžé™é—®é¢˜ï¼šlim_{x→0}x^x。这个æžé™å€¼åœ¨æ•°å¦ä¸Šæ˜¯å˜åœ¨çš„,且ç‰äºŽ1ã€‚å¾ˆå¤šäººå› æ¤æŽ¨æ–,对应的定义也应为1。而å¦ä¸€æ–¹é¢ï¼Œå®šä¹‰0^0=1ï¼Œä¹Ÿèƒ½ä¿æŒä¸€äº›æ•°å¦å…¬å¼åœ¨å„ç§åœºæ™¯ä¸æ›´ä¸ºä¸€è‡´æ€§ã€‚
ä½†æ˜¯ï¼Œè‹¥ä»Žå‡½æ•°è¿žç»æ€§è§’度出å‘,定义0^0为1,æ„味ç€åœ¨æŸäº›æƒ…å†µä¸‹å¯¹è¿žç»æ€§å¸¦æ¥æžå¤§ä¾¿åˆ©ï¼Œä½†åœ¨å…¶ä»–情况下å¯èƒ½ä¼šå¼•å‘ä¸åˆç†çš„结果。例如,在æŸäº›å‡½æ•°ä¸ï¼Œ0^0的定义å¯èƒ½å¯¼è‡´å¯¼æ•°æˆ–积分出现异常。
实际上,数å¦ç•Œå¯¹äºŽ0^0的定义,采å–çš„æ€åº¦å¹¶ä¸ç»Ÿä¸€ã€‚æœ‰äº›é«˜çº§æ•°å¦æ•™æç”šè‡³ä¼šåœ¨å¼•å…¥æžé™å’Œå‡½æ•°çš„上下文ä¸ï¼Œå¼ºè°ƒâ€œåœ¨ç‰¹å®šæ¡ä»¶ä¸‹ï¼Œå°†å…¶å®šä¹‰ä¸º1以方便公å¼çš„统一â€ï¼Œè€Œåœ¨ç‰¹å®šæƒ…境下,åˆä¼šé€‰æ‹©å°†å…¶è§†ä½œæœªå®šä¹‰ã€‚
对æ¤ï¼Œä½œä¸šå¸®çš„å¦ä¹ 社区ä¸ï¼Œè®¸å¤šå¦ç”Ÿé€šè¿‡è®¨è®ºã€åšé¢˜ä¸æ–ç†è§£è¿™ä¸€ç‚¹ï¼šå®šä¹‰å¹¶ä¸ä»…仅是一个简å•的选择,而是深深嵌入到数å¦é€»è¾‘与应用的背景ä¸ã€‚ç†è§£å®ƒçš„æ¼”å˜ã€ç”¨é€”å’Œé™åˆ¶ï¼Œèƒ½å¸®åŠ©å¤§å®¶ç”¨æ›´çµæ´»çš„æ€ç»´åŽ»é¢å¯¹æ•°å¦é—®é¢˜ã€‚
è¯´åˆ°è¿™é‡Œï¼Œæˆ–è®¸ä½ ä¼šé—®ï¼šâ€œä¸ºä»€ä¹ˆè¦èŠ±è¿™ä¹ˆå¤šæ—¶é—´ç ”ç©¶é›¶çš„é›¶æ¬¡å¹‚ï¼Ÿâ€ç”案就在于数å¦çš„æ€æƒ³ä¹‹ç¾Žâ€”â€”å®ƒä¸ä»…关乎符å·å’Œå…¬å¼ï¼Œæ›´æ¶‰åŠåˆ°ç†è§£æ–¹å¼å’Œæ€ç»´ä¹ 惯。
比如,当我们决定将0^0定义为1æ—¶ï¼Œæ˜¯å‡ºäºŽæ–¹ä¾¿è¯¸å¦‚ç»„åˆæ•°çš„è®¡ç®—ã€æ•°å¦å½’纳法的推广ç‰è€ƒè™‘。而如果我们选择“未定义â€ï¼Œæ›´å¤šçš„æ˜¯ä¸ºäº†ä¿è¯ä¸¥è°¨æ€§å’Œé¿å…é€»è¾‘çŸ›ç›¾ã€‚è¿™ç§æƒ…况下,ç†è§£å®šä¹‰çš„èƒŒæ™¯å’Œç”¨é€”ï¼Œèƒ½å¸®åŠ©æˆ‘ä»¬æ›´å¥½åœ°æŽŒæ¡æ•°å¦æ€æƒ³ã€‚
å¦ä¸€æ–¹é¢ï¼Œé›¶çš„零次幂也æˆä¸ºäº†æ•°å¦å¦ç§‘连接现实世界的一个“桥æ¢â€ã€‚从概率论ä¸çš„ç»„åˆæ•°ï¼Œåˆ°å‡½æ•°æžé™ï¼Œä»Žè®¡ç®—机科å¦ä¸çš„边界值处ç†ï¼Œåˆ°æ•°å¦åˆ†æžä¸çš„è¿žç»æ€§é—®é¢˜ï¼Œ0^0的选择都在ä¸åŒçš„é¢†åŸŸå‘æŒ¥ç€é‡è¦ä½œç”¨ã€‚
作业帮的å¦ç”Ÿä»¬åœ¨å¦ä¹ 过程ä¸ï¼Œé€æ¸æ„识到数å¦ä¸ä»…仅是公å¼çš„å †ç Œï¼Œæ›´æ˜¯ä¸€ç§å“²å¦æ€è€ƒã€‚零的零次幂作为一个精彩的“实验场â€ï¼Œæ¿€å‘了他们对于定义ã€é€»è¾‘å’Œæ€ç»´æ–¹å¼çš„æ·±åˆ»æ€è€ƒã€‚人生ä¸çš„许多“零â€é—®é¢˜ï¼Œæˆ–è®¸ä¹Ÿéœ€è¦æˆ‘们æ¢ä¸ªè§’度ç†è§£â€”â€”ä¸æ˜¯â€œæ²¡æœ‰â€ï¼Œè€Œæ˜¯â€œæ— é™çš„æ½œèƒ½â€ã€‚
(未完待ç»ï¼Œç¬¬äºŒéƒ¨åˆ†å°†ä»Žå®žé™…åº”ç”¨ã€æ•™è‚²æ„义ã€è§£å†³é—®é¢˜çš„æ–¹æ³•ç‰æ–¹é¢ï¼Œç»§ç»æ·±æŒ–“零的零次幂â€çš„丰富内涵。)
ã€æ•¬è¯·æœŸå¾…精彩ç»ç¯‡ï¼Œæç¤ºé›¶çš„零次幂在实际问题ä¸çš„åº”ç”¨ã€æ•™è‚²çš„å¯ç¤ºä»¥åŠå¦‚何用æ£ç¡®çš„æ€è·¯ç ´è§£è¿™ä¸€æ•°å¦éš¾é¢˜ã€‚】